大概总共花了一周左右学习了一下这个课程，教的蛮好的。非常的深入浅出，比较注重一些细节实现的真正理解，繁杂公式的也会带着逐步推导。该博客用于自我回顾一下课程项目简单复习总结记录一下。

整体课程内容

粒子物理 (Particle Physics)

粒子物理是入门阶段。在这个阶段，重点是简化对象和运动，以便分析物理特性与实现一些基本功能，如线性运动。

质点 (Point Mass)

• 粒子对象（Particles）是简单的物体，没有形状，因此不涉及旋转与碰撞。
• 每个粒子本质上被视为一个点，包含位置、速度、加速度（均为向量 Vec2）和质量（float）。
• 讨论到了质量的倒数（inverse of the mass）的概念，该值在物理计算中比质量本身使用得更频繁。

积分 (Integration)

• 积分用于更新粒子的位置和速度。
• 主要讲解了欧拉积分法（Euler method），特别是半隐式欧拉方法（Semi-implicit Euler），通过当前加速度计算下一时刻的速度 ($V_{n+1}$)，再用 $V_{n+1}$ 更新下一时刻的位置 ($X_{n+1}$)。
• 稍微提到了Verlet 积分（Verlet integration），建议如果后续处理软体（Soft Bodies）和约束时，可以考虑使用 Verlet 积分。
• 积分步骤（integrate 方法）通过每帧接收 时间增量（$\Delta t$ 或 dt）作为参数。

力、运动 (Force, Motion)

• 力在每帧模拟步骤开始时被施加和累积（addForce），并在积分（integrate）后被清除（clearForces）。
• 课程实现了一些力（通过静态辅助函数 force::generate...）：
  • 重力（Weight Force）：模拟重力向下拉动粒子。
  • 推力/风力（Push/Wind Force）：可以模拟空气阻力或通过键盘控制的推力。
  • 阻力（Drag Force）：简化的阻力公式，其中多个常数被一个单独的常数 $k$ 代替，简化为 $k$ 乘以速度。
  • 摩擦力（Friction Force）：通过一个常数 $k$（表示表面粗糙度或光滑度）进行简化处理。
  • 万有引力（Gravitational Force）：模拟两个粒子之间的相互吸引力，公式中使用了最小和最大距离的参数来限制距离平方的值，以确保视觉效果的稳定和有趣。
  • 弹簧力（Spring Force）：基于胡克定律，力与位移（$\Delta l$，即拉伸或压缩量）成正比，并使用弹簧常数 $K$（刚度）和剩余长度（rest length，平衡距离）。

不考虑碰撞与旋转 (No Collision, No Rotation)

• 在粒子物理阶段，对象被简化为质点，不具备旋转能力。
• 简单的边界碰撞是通过翻转速度分量来实现弹跳效果。
• 粒子可以被用来模拟软体（Soft Bodies），通过多个粒子通过弹簧（基于Spring Force）相互连接来维持形状。

刚体物理 (Rigid Body Physics)

刚体物理是课程的深入部分，对象开始具有形状和旋转能力，并且涉及到碰撞检测与约束解算。

基本图形（圆形、凸多边形）

• 刚体（Bodies）内部包含一个 Shape 对象。
• 支持的几何形状包括圆形（CircleShape）、多边形（PolygonShape）以及特殊的矩形（BoxShape）。
• 所有形状的顶点都是在局部空间（local space，即以物体原点（body.position）/质心为原点的坐标系）中定义的。
• 凸多边形（Convex Polygons）是基于碰撞检测算法（SAT）的限制。
• 刚体需要具备局部空间到世界空间（local space to world space）和世界空间到局部空间的坐标转换函数，用于处理旋转和平移。

积分

• 刚体的积分被分为线性积分（integrateLinear）和角积分（integrateAngular）。
• 通过积分更新对象的速度和角速度，然后更新位置和旋转角度。

力、冲量、运动、旋转、摩擦

• 刚体除了累积合力（sumForces）外，还累积扭矩（sumTorque）。
• 扭矩（Torque，通常用希腊字母 $\tau$ 表示）定义为力使物体绕某个轴旋转的能力。
• 扭矩的计算与力的大小 $F$、距离 $d$（力臂）和力与距离向量之间的角度 $\beta$ 的正弦值有关。
• 转动惯量（Moment of Inertia，或称角动量 angular mass）决定了实现所需角加速度所需的扭矩大小。每种形状都有对应的转动惯量公式。
• 刚体具有恢复系数（coefficient of restitution, $\epsilon$ 或 $e$）和摩擦系数（coefficient of friction）属性。
• 冲量（Impulse）是一种瞬间改变物体速度（线性和角速度）的力。实现上便是直接修改速度值。

碰撞检测 (Collision Detection)

• 碰撞检测主要关注分离轴定理（Separating Axis Theorem, SAT）。
• SAT 算法仅对凸多边形有效。
• SAT 通过检查物体在各个轴上的投影是否重叠来确定碰撞。
• 碰撞检测会返回最小分离距离（minimum separation），负值表示重叠（穿透）。
• 碰撞信息存储在 Contact 结构体中，包括刚体 A 和 B 的指针、碰撞法线、穿透深度以及碰撞的起始和结束点。

基于瞬时冲量的碰撞/重叠解算 (Impulse-based Collision/Overlap Resolution)

• 该阶段的碰撞解算暂时使用瞬时冲量来即时修正速度，从而解决重叠和弹跳。
• 冲量公式是基于动量守恒和恢复系数 $\epsilon$ 导出的，并结合了线性和角速度分量。
• 冲量计算中使用了质量倒数（inverse mass），质量为 0（静态物体）的物体，其质量倒数为 0。
• 摩擦（Friction）通过在雅可比矩阵中添加切向（Tangent）的第二行来实现。切向冲量必须被限制在法向冲量乘以摩擦系数 $\mu$ 的范围内。
• 多重接触点（Multiple Contact Points）的解算需要使用 裁剪（Clipping）技术，基于 SAT 找到的参考面（reference face）和入射面（incident face）进行线段裁剪。

约束 (Constraints)

约束是用于限制物体运动或保持物体之间关系的机制。约束的概念为解算运动/

• 约束类型： 基础 Constraint 类作为父类。具体的约束包括关节约束（JointConstraint，限制两物体间距离，如链条或铰链）和穿透约束（PenetrationConstraint，用于碰撞解算）。
• 核心数学： 约束解算大量使用拉格朗日力学的原理，并涉及求解一个线性系统 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 来找到拉格朗日乘数 $\lambda$（即冲量的大小）。
• 雅可比矩阵（Jacobian）： 约束的核心组件。雅可比矩阵 $J$ 将速度从世界空间映射到约束空间，并将冲量从约束空间映射回世界空间（$J^T$）。对于两个刚体的约束，雅可比矩阵通常是 1x6 或 2x6 的维度（包含 A/B 的线性和角速度分量）。
• 求解方法： 课程使用高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法来求解 $\lambda$。
• 应用冲量： 求解得到的 $\lambda$ 乘以雅可比矩阵的转置 $J^T$ 即可得到作用于刚体的最终冲量向量。然后将该冲量分别应用于刚体的线性和角速度。

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