第7章: 曲线控制与生成

贝塞尔曲线(Bezier Curve)

定义

贝塞尔曲线是计算机图形学中用于生成平滑曲线的一种参数曲线。

OpenGL中使用贝塞尔曲线

控制点设置

为了绘制贝塞尔曲线，首先需要指定控制点数组：

plaintext

const int numcontrolpts = 4;  // 控制点数量
GLfloat controlpts[numcontrolpts][3] = {
    {-0.9, -0.9, 0.0},
    {-0.5, 0.2, 0.0},
    {0.9, -0.9, 0.0},
    {0.9, 0.9, 0.0}
};

初始化求值器

使用glMap1f函数初始化一个求值器，设置曲线参数：

plaintext

glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3, numcontrolpts, &controlpts[0][0]);

启用求值器

plaintext

glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3);

绘制曲线

通过glEvalCoord1d函数使用求值器绘制曲线：

plaintext

glBegin(GL_LINE_STRIP);
for (int i = 0; i <= numdrawsegs; ++i) {
    GLdouble t = GLdouble(i) / numdrawsegs;
    glEvalCoord1d(t);
}
glEnd();

简化绘制过程

使用glMapGrid1d函数指定网格参数值，简化绘制过程：

plaintext

glMapGrid1d(numdrawsegs, 0.0, 1.0);

NURBS(非均匀有理B样条曲线)

定义

NURBS是一种通过控制点和权重因子定义的曲线，能够精确表达标准几何形状。

特点

控制点表示为齐次坐标系统，包含额外的缩放因子 $h$ 。
控制点公式为 $P_i = (x_i h_i, y_i h_i, z_i h_i, h_i)$ ， $h_i \neq 0$ 。
权重 $h_i$ 作为每个点的标量权重，提供对曲线形状的额外控制。

应用

NURBS广泛用于表面设计，例如通过在xy平面上建模一个样条曲线，然后围绕y轴旋转该曲线生成旋转面。

数学公式示例

贝塞尔曲线参数公式:

P(t) = \sum_{i=0}^{n} B_{i,n}(t) \cdot P_i

其中 $B_{i,n}(t)$ 是贝塞尔基函数， $P_i$ 是控制点。

NURBS曲线参数公式:

C(u) = \frac{\sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u) \cdot w_i \cdot P_i}{\sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u) \cdot w_i}

其中 $N_{i,p}(u)$ 是B样条基函数， $w_i$ 是权重， $P_i$ 是控制点。

这一章节详细介绍了如何在OpenGL中使用贝塞尔曲线和NURBS曲线进行图形生成，以及这些技术的数学基础和实际应用。