6.1 小数展开

定义

任意实数 $x$ 都可以写成如下形式：

x = \lfloor x \rfloor + \sum_{j=1}^{\infty} \frac{c_j}{10^j}

其中 $x = \lfloor x \rfloor.c_1c_2c_3\ldots$ 称为 $x$ 的小数展开式。令 $c_0 = \lfloor x \rfloor$ ，则 $c_j$ 可通过以下算法计算：

\gamma_0 = x

对于 $i \geq 0$ ，有：

c_i = \lfloor \gamma_i \rfloor

\gamma_{i+1} = 10(\gamma_i - c_i)

定理

实数 $x$ 的小数展开式有限（终止）或周期当且仅当 $x$ 是有理数。
实数 $x$ 的小数展开式有限当且仅当 $x$ 可以写成 $x=\frac{r}{s}$ 的形式，其中 $s$ 的所有因子都可以被 $2$ 或 $5$ 整除。

我们知道，在小数展开的过程中，每次都是将剩余的小数部分乘以 10，然后取整数部分作为下一位小数。如果我们要使小数展开的过程能在有限步内结束，就必须在某一步时，剩余的小数部分变为 0。

假设我们在第 $n$ 步时，小数展开结束，此时有：

10^n x = 10^n \frac{r}{s} = k

其中 $k$ 是一个整数。这意味着 $10^n r = k s$ 。

因为 $10 = 2 \times 5$ ，所以 $10^n = 2^n \times 5^n$ 。如果 $s$ 的质因子只包含 2 和 5，那么 $s$ 可以写成 $2^a \times 5^b$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是非负整数。这样，我们就有：

2^n \times 5^n \times r = k \times 2^a \times 5^b

我们可以调整 $n$ 的值，使得 $n \geq a$ 且 $n \geq b$ ，这样就能保证等式左右两边的 2 和 5 的指数都是非负的。这意味着等式左边是一个整数，因此 $k$ 也必须是一个整数。

反过来，如果 $s$ 有除了 2 和 5 以外的质因子，比如 3，那么不管 $n$ 取多大的值，等式左边都会有一个 3 的因子，而等式右边没有，所以等式无法成立，小数展开就不会结束。

所以，一个实数的小数展开式有限，当且仅当它可以写成两个整数的比值，且分母的质因子只包含 2 和 5。这个定理给出了判断一个实数是否有有限小数展开式的一个简单方法。

6.2 有限连分数

定义

有限连分数是形如以下的表达式：

a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + \frac{1}{\ddots + \frac{1}{a_{n-1} + \frac{1}{a_n}}}}}}

其中 $a_0, a_1, \ldots, a_n$ 是实数，且 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 为正数。如果 $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n$ 都是整数，则称该连分数为简单连分数。我们可以用 $[a_0; a_1, a_2, \ldots, a_n]$ 来表示这个数。

定理

每一个有限简单连分数都表示一个有理数。
每一个有理数都可以用有限简单连分数来表示。

定义

若 $x = [a_0; a_1, \ldots, a_n]$ ，则 $[a_0; a_1, \ldots, a_k]$ 称为 $x$ 的第 $k$ 个渐近分数。

定理

设 $a_0, a_1, \ldots, a_n$ 是实数，且 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 为正数。令

p_0 = a_0, \quad q_0 = 1

p_1 = a_1a_0 + 1, \quad q_1 = a_1

p_2 = a_2p_1 + p_0, \quad q_2 = a_2q_1 + q_0

\vdots

p_k = a_kp_{k-1} + p_{k-2}, \quad q_k = a_kq_{k-1} + q_{k-2}

则有

p_kq_{k-1} - p_{k-1}q_k = (-1)^{k-1}

(p_k, q_k) = 1

C_k = [a_0; a_1, \ldots, a_k] = \frac{p_k}{q_k}

定理

设 $C_k = \frac{p_k}{q_k}$ 是简单连分数 $[a_0; a_1, \ldots, a_n]$ 的第 $k$ 个渐近分数，则 $q_k \geq k$ ，且

C_k - C_{k-1} = \frac{(-1)^{k-1}}{q_kq_{k-1}}

定理

设 $C_k = \frac{p_k}{q_k}$ 是简单连分数 $[a_0; a_1, \ldots, a_n]$ 的第 $k$ 个渐近分数，则

C_0 < C_2 < C_4 < \ldots < C_5 < C_3 < C_1

6.3 无限连分数

定理

设 $a_0, a_1, a_2, \ldots$ 是一个由整数组成的无限序列，其中 $a_1, a_2, \ldots$ 为正数，令 $C_k = [a_0; a_1, \ldots, a_k]$ 。则渐近分数 $C_k$ 收敛于一个极限 $\alpha$ ，即

\lim_{k \to \infty} C_k = \alpha

定理

设 $\alpha = \alpha_0$ 是一个无理数。 $\alpha$ 的无限简单连分数展开式可以通过以下方式计算：

a_k = \lfloor \alpha_k \rfloor, \quad \alpha_{k+1} = \frac{1}{\alpha_k - a_k}

定理

设 $\alpha$ 是一个无理数，其简单连分数展开式为 $[a_0; a_1, a_2, \ldots]$ ，渐近分数为 $C_k = \frac{p_k}{q_k}$ ，则

\left|\alpha - \frac{p_k}{q_k}\right| < \frac{1}{q_kq_{k+1}}

Dirichlet 关于丢番图近似的定理

如果 $\alpha$ 是一个无理数，则存在无穷多个有理数 $\frac{p}{q}$ 满足

\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^2}

定理

设 $\alpha$ 是一个无理数， $\frac{p_j}{q_j}$ 是 $\alpha$ 的无限简单连分数的渐近分数。

如果 $\frac{r}{s}$ 是一个有理数，其中 $r$ 和 $s$ 是整数且 $s>0$ ，如果 $k$ 是一个正整数满足 $|s\alpha - r| < |q_k\alpha - p_k|$ ，则 $s \geq q_{k+1}$ 。
如果 $\frac{r}{s}$ 是一个有理数，其中 $r$ 和 $s$ 是整数且 $s>0$ ，如果 $k$ 是一个正整数满足 $\left|\alpha - \frac{r}{s}\right| < \left|\alpha - \frac{p_k}{q_k}\right|$ ，则 $s > q_k$ 。

换言之， $\frac{p_k}{q_k}$ 是分母不超过 $q_k$ 的最佳有理数逼近。

定理

如果 $\alpha$ 是一个无理数，且 $\frac{r}{s}$ 是一个最简有理数，其中 $r$ 和 $s$ 是整数且 $s>0$ ，满足

\left|\alpha - \frac{r}{s}\right| < \frac{1}{2s^2}

则 $\frac{r}{s}$ 一定是 $\alpha$ 的简单连分数展开式的一个渐近分数。

6.4 周期连分数

二次无理数

如果一个无理数 $\alpha$ 是一个整系数二次多项式的根，即满足

A\alpha^2 + B\alpha + C = 0

则称 $\alpha$ 为二次无理数。

定理

一个实数 $\alpha$ 是二次无理数当且仅当存在整数 $a,b,c$ ，其中 $b>0$ ， $c \neq 0$ ， $b$ 不是完全平方数，使得

\alpha = \frac{a + \sqrt{b}}{c}

定义

在上述定理的记号下， $\alpha$ 的共轭定义为

\alpha' = \frac{a - \sqrt{b}}{c}

命题

二次无理数的倒数是二次无理数。
有理数与二次无理数的和是二次无理数。

定理

如果

\alpha = \frac{P_0 + \sqrt{d}}{Q_0}

其中 $P_0, Q_0$ 是整数， $d$ 不是完全平方数，且 $Q_0 | d - P_0^2$ ，定义

\alpha_k = \frac{P_k + \sqrt{d}}{Q_k}

a_k = \lfloor \alpha_k \rfloor

P_{k+1} = a_kQ_k - P_k

Q_{k+1} = \frac{d - P_{k+1}^2}{Q_k}

则 $\alpha = [a_0; a_1, a_2, \ldots]$ 。

Lagrange 定理

一个无理数的无限简单连分数展开式是周期的当且仅当该数是二次无理数。

定义

如果简单连分数 $[a_0; a_1, a_2, \ldots]$ 满足

[a_0; a_1, a_2, \ldots] = [\overline{a_0; a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}}]

则称其为纯循环连分数。

定理

二次无理数 $\alpha$ 的简单连分数展开式是纯循环的当且仅当 $\alpha > 1$ 且 $-1 < \alpha' < 0$ ，其中 $\alpha'$ 是 $\alpha$ 的共轭。

定理

如果 $D$ 是一个不是完全平方数的正整数，则

\sqrt{D} = [a_0; \overline{a_1, a_2, \ldots, a_n, 2a_0}]

这个定理揭示了二次无理数（特别是形如 $\sqrt{D}$ 的二次无理数）的连分数展开与佩尔方程（Pell's equation）之间的一个重要联系。

佩尔方程是一个形如 $x^2 - Dy^2 = 1$ 的丢番图方程，其中 $D$ 是一个正整数但不是完全平方数， $x$ 和 $y$ 是我们要求的整数解。佩尔方程在数论中有着重要的地位，它与许多其他的数学概念都有着密切的联系，包括连分数。

根据这个定理，如果 $D$ 是一个正整数但不是完全平方数，那么 $\sqrt{D}$ 的连分数展开一定是周期性的，并且周期部分的最后一个数是 $2a_0$ ，其中 $a_0$ 是 $\sqrt{D}$ 的整数部分。

现在，让我们看看这个定理是如何与佩尔方程联系起来的。

假设我们有一个佩尔方程 $x^2 - Dy^2 = 1$ ，我们可以将其重写为：

(x + y\sqrt{D})(x - y\sqrt{D}) = 1

如果我们将 $x + y\sqrt{D}$ 看作是一个整体，记为 $u + v\sqrt{D}$ ，那么上述等式可以写成：

(u + v\sqrt{D})(u - v\sqrt{D}) = 1

这意味着，如果我们能找到 $\sqrt{D}$ 的一个有理数逼近 $v/u$ ，使得上述等式近似成立，那么我们就可以找到佩尔方程的一个近似解。

而 $\sqrt{D}$ 的最佳有理数逼近，恰好可以通过它的连分数展开来获得。具体来说，如果我们将 $\sqrt{D}$ 的连分数展开截断到第 $k$ 个部分，得到的渐近分数 $p_k/q_k$ 就是 $\sqrt{D}$ 的一个很好的有理数逼近。当 $k$ 取周期部分的最后一个位置时，我们得到的渐近分数就给出了佩尔方程的一个解。

所以，这个定理提供了一个通过连分数来解佩尔方程的方法。实际上，这也是解佩尔方程的一个经典算法。通过计算 $\sqrt{D}$ 的连分数展开，我们可以得到一系列佩尔方程的解，而且这些解是以指数级别递增的，所以我们总是能找到佩尔方程的一个足够大的解。

这就是这个定理与佩尔方程之间的联系。它揭示了二次无理数的周期性连分数展开与佩尔方程解的一个深刻的数学联系，同时也提供了一个实用的算法来解决佩尔方程这个古老的数学问题。