7.1 勾股数组 (Pythagorean Triples)

定义

满足丢番图方程 $x^2 + y^2 = z^2$ 的正整数三元组 $(x, y, z)$ 称为勾股数组。

如果 $x, y, z$ 两两互质，则勾股数组 $(x, y, z)$ 称为本原 (Primitive) 勾股数组。

引理 1

如果 $(x, y, z)$ 是本原勾股数组，则 $x, y, z$ 两两互质。

引理 2

如果 $(x, y, z)$ 是本原勾股数组，则 $x, y$ 中一个为奇数，一个为偶数。

定理 1

设 $r$ 和 $s$ 是互质的正整数。如果存在正整数 $t$ 使得 $rs = t^2$，则存在互质的正整数 $m$ 和 $n$ 使得 $r = m^2$, $s = n^2$。

定理 2

当且仅当存在互质的正整数 $m > n$，其中 $m$ 为奇数而 $n$ 为偶数，或者 $m$ 为偶数而 $n$ 为奇数，使得

时，正整数三元组 $(x, y, z)$ 为本原勾股数组，且 $y$ 为偶数。

7.2 费马大定理 (Fermat's Last Theorem)

费马大定理

当 $n$ 为大于等于 3 的整数时，丢番图方程 $x^n + y^n = z^n$ 没有非零整数解 $x, y, z$。

定理 3

丢番图方程 $x^4 + y^4 = z^2$ 没有非零整数解 $x, y, z$。

证明 (反证 & 模运算)：

假设存在整数 $x,y,z$，使得 $x^4+y^4=z^2$。不失一般性，我们可以假设 $x,y,z$ 互质（否则可以将等式同时除以它们的最大公因数）。

考虑模 4 的情况：

• 如果 $x$ 是偶数，那么 $x^4 \equiv 0 \pmod{4}$
• 如果 $x$ 是奇数，那么 $x^4 \equiv 1 \pmod{4}$

同样地，

• 如果 $y$ 是偶数，那么 $y^4 \equiv 0 \pmod{4}$
• 如果 $y$ 是奇数，那么 $y^4 \equiv 1 \pmod{4}$

所以，$x^4+y^4$ 在模 4 的情况下只能是 0、1 或 2。

然而，对于任何整数 $z$，我们有：

• 如果 $z$ 是偶数，那么 $z^2 \equiv 0 \pmod{4}$
• 如果 $z$ 是奇数，那么 $z^2 \equiv 1 \pmod{4}$

这意味着 $z^2$ 在模 4 的情况下只能是 0 或 1，但不可能是 2。

这与 $x^4+y^4$ 在模 4 的情况下可以是 2 相矛盾。

因此，我们的最初假设一定是错误的，不存在整数 $x,y,z$ 满足 $x^4+y^4=z^2$。

推论

丢番图方程 $x^4 + y^4 = z^4$ 没有非零整数解 $x, y, z$。

7.3 平方和

定理 4

设 $n$ 为正整数。如果 $n$ 可以表示为两个平方数之和，则 $n \not\equiv 3 \pmod{4}$。

定理 5

如果 $m$ 和 $n$ 都是两个平方数之和，则 $mn$ 也是两个平方数之和。

如果 $m = a^2 + b^2, n = c^2 + d^2$，则

引理 3

如果 $p$ 是素数且满足 $p \equiv 1 \pmod{4}$，则存在整数 $k$，$0 < k < p$，使得 $kp = x^2 + y^2$ 在整数 $x, y$ 中有解。

定理 6

如果 $p$ 是满足 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 的素数，则 $p$ 可以表示为两个平方数之和。

推论

如果 $p$ 是素数且 $p \not\equiv 3 \pmod{4}$，则 $p$ 可以表示为两个平方数之和。

定理 7

正整数 $n$ 是两个平方数之和当且仅当 $n$ 的每一个形如 $4k+3$ 的素因子的幂次都是偶数。

定理 8

如果 $m$ 和 $n$ 都是四个平方数之和的正整数，则 $mn$ 也是四个平方数之和。

定理 9

如果 $p$ 是奇素数，则存在整数 $k$，$k < p$，使得 $kp = x^2 + y^2 + z^2 + w^2$ 在整数 $x, y, z, w$ 中有解。

定理 10

设 $p$ 为素数。则方程 $x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = p$ 有整数解 $x, y, z, w$。

定理 11

每一个正整数都是四个整数平方的和。

定理 12

设 $n$ 为正整数。如果 $n$ 可以表示为三个平方数之和，则 $n \not\equiv 7 \pmod{8}$。

定理 13

一个正整数 $n$ 可以表示为三个平方数之和，当且仅当它不是形如 $n = 4^km$，其中 $k$ 为非负整数且 $m \equiv 7 \pmod{8}$。

证明：

这个定理被称为勒让德三平方和定理（Legendre's three-square theorem），不好证，直接背吧。