第十二章向量与空间几何

12.1 三维坐标系

八分空间：三维空间被三个互相垂直的坐标平面分成八个部分，称为八分空间。
点的投影：点 $P(a,b,c)$ 在三个坐标平面上的投影分别为：
- $Q(a,b,0)$ 为 $P$ 在 $xy$ 平面上的投影
- $R(0,b,c)$ 为 $P$ 在 $yz$ 平面上的投影
- $S(a,0,c)$ 为 $P$ 在 $xz$ 平面上的投影
三维直角坐标系： $\mathbb{R}^3 = \{(x,y,z) | x,y,z \in \mathbb{R}\}$
两点间距离公式：两点 $P_1(x_1,y_1,z_1)$ 和 $P_2(x_2,y_2,z_2)$ 之间的距离为：

|P_1P_2| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}

球面方程：以 $C(h,k,l)$ 为球心， $r$ 为半径的球面方程为：

(x-h)^2 + (y-k)^2 + (z-l)^2 = r^2

特别地，若球心为原点，则球面方程为：

x^2 + y^2 + z^2 = r^2

12.2 向量

标量与向量：
- 只需要一个数来指定的量称为标量
- 需要大小和方向来完整指定的量称为向量
向量相等：两个向量相等当且仅当它们有相同的大小和方向。
向量表示：在三维空间中，向量 $\mathbf{a}$ 可以写成 $\mathbf{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ 。
向量运算：若 $\mathbf{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ 和 $\mathbf{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle$ ，则：
- 标量乘法： $c\mathbf{a} = \langle ca_1, ca_2, ca_3 \rangle$
- 加减法： $\mathbf{a} \pm \mathbf{b} = \langle a_1 \pm b_1, a_2 \pm b_2, a_3 \pm b_3 \rangle$
位置向量：从点 $A(x_1,y_1,z_1)$ 到点 $B(x_2,y_2,z_2)$ 的向量为：

\overrightarrow{AB} = \langle x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \rangle = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}

其中 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ 称为位置向量。

向量长度：向量 $\mathbf{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ 的大小或长度为：

\|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

单位向量：大小为1的向量称为单位向量。 $\hat{\mathbf{a}} = \frac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|}$
标准单位向量： $\mathbf{i} = \langle 1,0,0 \rangle$ ， $\mathbf{j} = \langle 0,1,0 \rangle$ ， $\mathbf{k} = \langle 0,0,1 \rangle$
向量分解：向量 $\mathbf{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ 可以写成 $\mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}$ 。

向量运算定理：

$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}$ （交换律）
$(\mathbf{a} + \mathbf{b}) + \mathbf{c} = \mathbf{a} + (\mathbf{b} + \mathbf{c})$ （结合律）
$\mathbf{a} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{a} = \mathbf{a}$ （零向量）
$\mathbf{a} + (-\mathbf{a}) = \mathbf{0}$ （负向量）
$a(b\mathbf{a}) = (ab)\mathbf{a}$ （标量乘法结合律）
$a(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = a\mathbf{a} + a\mathbf{b}$ （分配律）
$(a + b)\mathbf{a} = a\mathbf{a} + b\mathbf{a}$ （分配律）
$1\mathbf{a} = \mathbf{a}$ （单位标量）
$\|a\mathbf{a}\| = |a|\|\mathbf{a}\|$ （长度性质）

12.3 点积

点积定义：两个向量 $\mathbf{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ 和 $\mathbf{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle$ 的点积为：

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

点积的性质：
1. $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$ （交换律）
2. $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$ （分配律）
3. $c(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = (c\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b}$ （标量乘法）
4. $\mathbf{0} \cdot \mathbf{a} = 0$ （零向量性质）
5. $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = \|\mathbf{a}\|^2$ （自点积）
几何意义：

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos \theta

其中 $\theta$ 为两个向量之间的夹角。

正交性：两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 正交当且仅当 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ 。

12.4 叉积

叉积定义：两个向量 $\mathbf{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ 和 $\mathbf{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle$ 的叉积为：

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

几何解释：
- $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$
- $\mathbf{a}$ ， $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 构成右手系
- 叉积的长度： $\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\sin \theta$
平行性判定：两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 平行当且仅当 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ 。
标准单位向量的叉积：

\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}, \quad \mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}, \quad \mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}

性质：

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a}$
$\mathbf{a} \times (\mathbf{b}+\mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$
$c(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (c\mathbf{a}) \times \mathbf{b}$
$\mathbf{a} \times \mathbf{0} = \mathbf{0} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$
$\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$
$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$
$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$

12.5 直线和平面的方程

一条直线由以下确定：
- 一个固定点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$
- 一个固定方向向量 $\mathbf{v}=a\mathbf{i}+b\mathbf{j}+c\mathbf{k}$
它是所有满足以下条件的点 $P$ 的集合：

\overrightarrow{P_0P}=t\mathbf{v}

其中 $t$ 为某个实数。

若 $\mathbf{r}=\overrightarrow{OP}$ 和 $\mathbf{r}_0=\overrightarrow{OP_0}$ ，则：

\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\mathbf{v}

对于 $\mathbf{r}=\langle x,y,z \rangle$ ， $\mathbf{r}_0=\langle x_0,y_0,z_0 \rangle$ 和 $\mathbf{v}=\langle a,b,c \rangle$ ，我们有：

x=x_0+at,\quad y=y_0+bt,\quad z=z_0+ct

这些是通过点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 并平行于 $\mathbf{v}=\langle a,b,c \rangle$ 的直线的参数方程。

当 $a$ ， $b$ ， $c$ 都不为零时，我们得到：

\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}

这称为直线的对称方程。

平面：通过点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 并垂直于向量 $\mathbf{n}=\langle a,b,c \rangle$ 的平面方程为：

a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0

12.6 柱面和二次曲面

柱面：在三维空间中， $F(x,y)=C$ 或 $G(x,z)=C$ 或 $H(y,z)=C$ 的图像称为柱面。
二次曲面：在三维空间中，二次方程

Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0

的曲面称为二次曲面。

通过坐标轴的平移和旋转，这样的方程可以化简为以下两种标准形式之一：

Ax^2+By^2+Cz^2+J=0 \quad\text{或}\quad Ax^2+By^2+Iz=0

曲面	方程	曲面	方程
椭球面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 所有截痕都是椭圆。如果 $a=b=c$ ，椭球面是一个球面。	锥面	$\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ 水平截痕是椭圆。在平面 $x=k$ 和 $y=k$ 中的垂直截痕是双曲线，如果 $k \neq 0$ ，但如果 $k=0$ 则是一对直线。
椭圆抛物面	$\frac{z}{c}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ 水平截痕是椭圆。垂直截痕是抛物线。一次幂的变量表示抛物面的轴。	单叶双曲面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ 水平截痕是椭圆。垂直截痕是双曲线。对称轴对应于系数为负的变量。
双曲抛物面	$\frac{z}{c}=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ 水平截痕是双曲线。垂直截痕是抛物线。图中说明了 $c<0$ 的情况。	双叶双曲面	$-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 如果 $k>c$ 或 $k<-c$ ， $z=k$ 中的水平截痕是椭圆。垂直截痕是双曲线。两个负号表示两个叶面。

Surface	Equation	Surface	Equation
Ellipsoid	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ All traces are ellipses. If $a=b=c$ , the ellipsoid is a sphere.	Cone	$\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ Horizontal traces are ellipses. Vertical traces in the planes $x=k$ and $y=k$ are hyperbolas if $k \neq 0$ but are pairs of lines if $k=0$ .
Elliptic Paraboloid	$\frac{z}{c}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ Horizontal traces are ellipses. Vertical traces are parabolas. The variable raised to the first power indicates the axis of the paraboloid.	Hyperboloid of One Sheet	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ Horizontal traces are ellipses. Vertical traces are hyperbolas. The axis of symmetry corresponds to the variable whose coefficient is negative.
Hyperbolic Paraboloid	$\frac{z}{c}=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ Horizontal traces are hyperbolas. Vertical traces are parabolas. The case where $c<0$ is illustrated.	Hyperboloid of Two Sheets	$-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ Horizontal traces in $z=k$ are ellipses if $k>c$ or $k<-c$ . Vertical traces are hyperbolas. The two minus signs indicate two sheets.

第十二章 向量与空间几何