第13章 向量函数

13.1 向量函数和空间曲线

• 向量值函数（或向量函数）的定义：向量值函数$\mathbf{r}$是一个函数，其定义域是实数的集合，值域是向量的集合。对于$\mathbf{r}$的定义域中的每一个数$t$，都有一个唯一的向量$\mathbf{r}(t)$与之对应。
• 如果$f(t)$，$g(t)$和$h(t)$是向量$\mathbf{r}(t)$的分量，那么$f$，$g$和$h$是实值函数，称为$\mathbf{r}$的分量函数，我们可以写成：

• 定理：设$\mathbf{r}(t) = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}$，则$\mathbf{r}$在$t=a$处有极限当且仅当$f$，$g$和$h$在$a$处有极限。这种情况下，有

• 空间曲线可以由参数方程$x=f(t)$，$y=g(t)$，$z=h(t)$定义，或写成向量函数的形式：

13.2 向量函数的导数和积分

• 导数定义：向量函数$\mathbf{r}$的导数$\mathbf{r}'$定义为：

• 几何意义：$\mathbf{r}'(t)$是曲线在点$P$处的切向量。

• 单位切向量：

• 导数计算定理：如果$\mathbf{r}(t) = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}$，其中$f$，$g$和$h$是可微函数，则：

• 微分法则：设$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$是可微的向量值函数，$f$是可微的实值函数，$c$是标量。则有以下法则：

  1. $\frac{d}{dt}[\mathbf{u}(t) \pm \mathbf{v}(t)] = \mathbf{u}'(t) \pm \mathbf{v}'(t)$ （加减法）
  2. $\frac{d}{dt}[c\mathbf{u}(t)] = c\mathbf{u}'(t)$ （标量乘法）
  3. $\frac{d}{dt}[f(t)\mathbf{u}(t)] = f(t)\mathbf{u}'(t) + f'(t)\mathbf{u}(t)$ （乘积法则）
  4. $\frac{d}{dt}[\mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{v}(t)] = \mathbf{u}'(t) \cdot \mathbf{v}(t) + \mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{v}'(t)$ （点积法则）
  5. $\frac{d}{dt}[\mathbf{u}(t) \times \mathbf{v}(t)] = \mathbf{u}'(t) \times \mathbf{v}(t) + \mathbf{u}(t) \times \mathbf{v}'(t)$ （叉积法则）
  6. $\frac{d}{dt}[\mathbf{u}(f(t))] = \mathbf{u}'(f(t))f'(t)$ （链式法则）

• 积分定义：连续向量函数$\mathbf{r}(t)$的定积分定义为：

• 分量积分：如果$\mathbf{r}(t) = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}$，则：

13.3 弧长

• 弧长公式：假设曲线有向量方程$\mathbf{r}(t) = x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k}$，$a \leq t \leq b$，则曲线长度为：

13.4 空间运动：速度和加速度

• 运动描述：移动点$P$的位置向量为$\mathbf{r}(t) = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}$，其速度向量$\mathbf{v}(t)$和加速度向量$\mathbf{a}(t)$分别为：

• 运动性质：

  • 加速度向量指向曲线的凹侧
  • 速度大小：$v = \|\mathbf{v}(t)\| = \|\mathbf{r}'(t)\|$

• 物理定律：牛顿第二运动定律：$\mathbf{F}(t) = m\mathbf{a}(t)$

• 抛体运动：假设空气阻力可以忽略，唯一的外力是重力（$g \approx 9.8\ \mathrm{m/s^2}$），抛体的位置函数$\mathbf{r}(t)$的参数方程为：

其轨迹是一条抛物线。