第14章偏导数

14.1 多元函数

二元函数定义：实值二元函数 $f$ 将平面上某个集合 $D$ 中的每一个有序数对 $(x,y)$ 赋予一个唯一的实数 $f(x,y)$ 。
二元函数的定义域 $D$ ：如果没有特别说明，则 $D$ 为函数规则有意义的所有 $(x,y)$ 的集合，称为函数的自然定义域。
二元函数的值域：函数的所有取值的集合。
如果 $z=f(x,y)$ ，称 $x$ 和 $y$ 为自变量， $z$ 为因变量。
三元或多元函数的定义：类似地，可以定义三元或多元函数 $f(x,y,z)$ ， $f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 。
水平集：二元函数 $f$ 的水平集是方程 $f(x,y)=k$ 的曲线，其中 $k$ 是 $f$ 的值域中的常数。这些曲线的集合称为等高线图。

14.2 极限与连续性

二元函数极限的定义：

设函数 $f$ 的定义域 $D$ 包含 $(a,b)$ 附近的点。如果对于任意 $\epsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ （可能依赖于 $f,\epsilon,a,b$ ），使得当 $(x,y)\in D$ 且 $0<\|(x,y)-(a,b)\|<\delta$ 时，有 $|f(x,y)-L|<\epsilon$ ，则称 $f(x,y)$ 当 $(x,y)$ 趋于 $(a,b)$ 时的极限为 $L$ ，记作

\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L

多元函数极限的定义可以类似地推广。
定理：

如果 $f(x,y)$ 是多项式函数，则

\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b)

如果 $f(x,y)=\frac{p(x,y)}{q(x,y)}$ 是有理函数（ $p,q$ 是多项式），则

\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=\frac{p(a,b)}{q(a,b)}

其中 $q(a,b)\neq0$ 。

如果 $\lim_{(x,y)\to(a,b)}p(x,y)=L\neq0$ 且 $\lim_{(x,y)\to(a,b)}q(x,y)=0$ ，则

\lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{p(x,y)}{q(x,y)}

不存在。

二元函数连续性定义：如果 $f(x,y)$ 在点 $(a,b)$ 满足以下条件，则称 $f(x,y)$ 在 $(a,b)$ 处连续：
1. $f$ 在 $(a,b)$ 处有定义；
2. $f$ 在 $(a,b)$ 处有极限；
3. $f$ 在 $(a,b)$ 处的函数值等于其极限值，即

\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b)

复合函数连续性定理：

如果二元函数 $g$ 在 $(a,b)$ 连续，且一元函数 $f$ 在 $g(a,b)$ 连续，则复合函数 $f\circ g$ 在 $(a,b)$ 连续，其中 $(f\circ g)(x,y)=f(g(x,y))$ 。

14.3 偏导数

偏导数定义：

设 $f$ 是二元函数，如果 $y$ 保持不变，如 $y=b$ ，则 $f(x,b)$ 是 $x$ 的一元函数。其在 $x=a$ 处的导数称为 $f$ 在 $(a,b)$ 关于 $x$ 的偏导数，记作 $f_x(a,b)$ 。即

f_x(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}

类似地， $f$ 在 $(a,b)$ 关于 $y$ 的偏导数为

f_y(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}

偏导数作为函数：

f_x(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}

f_y(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}

偏导数记号：如果 $z=f(x,y)$ ，则

f_x(x,y)=f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=\frac{\partial z}{\partial x}=D_1f=D_xf

f_y(x,y)=f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=\frac{\partial z}{\partial y}=D_2f=D_yf

求偏导数的规则：

如果 $z=f(x,y)$ ，
1. 要求 $f_x$ ，将 $y$ 视为常数，对 $f(x,y)$ 关于 $x$ 求导。
2. 要求 $f_y$ ，将 $x$ 视为常数，对 $f(x,y)$ 关于 $y$ 求导。
偏导数的解释：
- $f$ 在 $(a,b)$ 的偏导数是过点 $P(a,b,c)$ 的曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 在该点切线的斜率。
- 偏导数也可以解释为瞬时变化率。
高阶偏导数定义：

如果 $z=f(x,y)$ ，

f_{xx}=(f_x)_x=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}

f_{yy}=(f_y)_y=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}

f_{xy}=(f_x)_y=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}

f_{yx}=(f_y)_x=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}

Clairaut定理：

如果 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在开集 $S$ 上连续，则对于 $S$ 中的每一点，有

f_{xy}=f_{yx}

多于两个变量的函数的偏导数：

如果 $u=f(x,y,z)$ ，

f_x(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}

f_y(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h,z)-f(x,y,z)}{h}

f_z(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}{h}

高阶偏导数如 $f_{xy}$ 和 $f_{xyz}$ 称为混合偏导数。

14.4 切平面与线性近似

切平面方程：

如果 $f$ 有连续的偏导数，则曲面 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面方程为

z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)

线性近似：

L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)

称为 $f$ 在 $(a,b)$ 的线性近似或切平面近似。

可微性定义：

如果

f(a+\Delta x,b+\Delta y)=f(a,b)+f_x(a,b)\Delta x+f_y(a,b)\Delta y+\epsilon_1\Delta x+\epsilon_2\Delta y

其中当 $(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)$ 时， $\epsilon_1\to0$ ， $\epsilon_2\to0$ ，则称 $f$ 在 $(a,b)$ 可微。

定理：

如果 $f_x(x,y)$ 和 $f_y(x,y)$ 在 $(a,b)$ 附近存在且在 $(a,b)$ 连续，则 $f(x,y)$ 在 $(a,b)$ 可微。

14.5 链式法则

链式法则：

设 $z=f(x,y)$ 是 $x$ 和 $y$ 的可微函数，其中 $x=g(t)$ 和 $y=h(t)$ 都是 $t$ 的可微函数。则 $z$ 是 $t$ 的可微函数，且

\frac{dz}{dt}(t)=\frac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t))\frac{dx}{dt}(t)+\frac{\partial f}{\partial y}(x(t),y(t))\frac{dy}{dt}(t)

也可以写作

\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}

链式法则（多元情况）：

设 $x=x(s,t)$ 和 $y=y(s,t)$ 在 $(s,t)$ 有一阶偏导数，且 $z=f(x,y)$ 在 $(x(s,t),y(s,t))$ 可微。则 $z=f(x(s,t),y(s,t))$ 有一阶偏导数，满足

\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}

\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}

两个变量的隐函数求导：

如果 $F(x,y)=0$ 隐式地定义了 $y$ 是 $x$ 的函数，则

\frac{dy}{dx}=-\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}

三个变量的隐函数求导：

如果 $F(x,y,z)=0$ 隐式地定义了 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数，则

\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial z}

\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\partial F/\partial y}{\partial F/\partial z}

14.6 方向导数与梯度向量

方向导数定义：

对于任意单位向量 $\mathbf{u}$ ，函数 $f$ 在点 $\mathbf{p}$ 沿 $\mathbf{u}$ 方向的方向导数定义为

D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{p})=\lim_{h\to0}\frac{f(\mathbf{p}+h\mathbf{u})-f(\mathbf{p})}{h}

如果该极限存在。

定理：

设 $f(x,y)$ 在 $\mathbf{p}$ 可微。则 $f$ 在 $\mathbf{p}$ 沿单位向量 $\mathbf{u}=a\mathbf{i}+b\mathbf{j}$ 的方向导数存在，且

D_{\mathbf{u}}f(x,y)=f_x(x,y)a+f_y(x,y)b

梯度向量定义：

函数 $f(x,y)$ 的梯度为

\nabla f=\left\langle\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right\rangle=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}

计算方向导数的另一种方法：

D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot\mathbf{u}

三元函数的梯度：

函数 $f(x,y,z)$ 的梯度为

\nabla f=\left\langle\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right\rangle=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}

最大变化率：

函数在点 $\mathbf{p}$ 处沿梯度方向 $\nabla f(\mathbf{p})$ 的变化率最大，大小为 $\|\nabla f(\mathbf{p})\|$ 。
水平集的切平面：

设 $F(x,y,z)=k$ 隐式确定了一个曲面（ $F(x,y,z)$ 的一个水平集），并且 $F$ 在曲面上的点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 处可微，且 $\nabla F(x_0,y_0,z_0)\neq\mathbf{0}$ 。则通过 $P$ 点并垂直于 $\nabla F(x_0,y_0,z_0)$ 的平面是曲面在 $P$ 点处的切平面。
- 切平面通过点 $P(x_0,y_0,z_0)$ ，法向量为 $\nabla F(x_0,y_0,z_0)$ 。
- 切平面方程：

F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0

法线的对称方程：

\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}

14.7 极值

绝对极值定义：

设函数 $f$ 的定义域为 $S$ ， $\mathbf{p}_0$ 是 $S$ 中的一点。
- 如果对所有 $S$ 中的 $\mathbf{p}$ ，都有 $f(\mathbf{p}_0)\geq f(\mathbf{p})$ ，则称 $f(\mathbf{p}_0)$ 为绝对极大值。
- 如果对所有 $S$ 中的 $\mathbf{p}$ ，都有 $f(\mathbf{p}_0)\leq f(\mathbf{p})$ ，则称 $f(\mathbf{p}_0)$ 为绝对极小值。
- 如果 $f(\mathbf{p}_0)$ 是绝对极大值或绝对极小值，则称其为绝对极值。
局部极值定义：

设函数 $f$ 的定义域为 $S$ ， $\mathbf{p}_0$ 是 $S$ 中的一点。
- 如果存在 $\mathbf{p}_0$ 的某个邻域 $N$ ，对所有 $S\cap N$ 中的 $\mathbf{p}$ ，都有 $f(\mathbf{p}_0)\geq f(\mathbf{p})$ ，则称 $f(\mathbf{p}_0)$ 为局部极大值。
- 如果存在 $\mathbf{p}_0$ 的某个邻域 $N$ ，对所有 $S\cap N$ 中的 $\mathbf{p}$ ，都有 $f(\mathbf{p}_0)\leq f(\mathbf{p})$ ，则称 $f(\mathbf{p}_0)$ 为局部极小值。
- 如果 $f(\mathbf{p}_0)$ 是局部极大值或局部极小值，则称其为局部极值。
极值定理：

如果函数 $f$ 在闭区域 $S$ 上连续，则 $f$ 在 $S$ 上一定能取到绝对极大值和绝对极小值。
函数 $f$ 在集合 $S$ 上的临界点 $\mathbf{p}_0$ 有以下三种类型之一：
1. 边界点。
2. 驻点： $S$ 内部的点 $\mathbf{p}_0$ ，且 $\nabla f(\mathbf{p}_0)=\mathbf{0}$ 。
3. 奇点： $S$ 内部的点 $\mathbf{p}_0$ ，且 $f$ 在该点不可微。
临界点定理：

设函数 $f$ 定义在集合 $S$ 上，且 $S$ 包含 $\mathbf{p}_0$ 。如果 $f(\mathbf{p}_0)$ 是极值，则 $\mathbf{p}_0$ 必须是临界点。
二阶导数判别法：

设 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有连续的二阶偏导数，且 $\nabla f(x_0,y_0)=\mathbf{0}$ 。令

D=D(x_0,y_0)=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-(f_{xy}(x_0,y_0))^2

如果 $D>0$ 且 $f_{xx}(x_0,y_0)<0$ ，则 $f(x_0,y_0)$ 是局部极大值。
如果 $D>0$ 且 $f_{xx}(x_0,y_0)>0$ ，则 $f(x_0,y_0)$ 是局部极小值。
如果 $D<0$ ，则 $(x_0,y_0)$ 是鞍点， $f(x_0,y_0)$ 不是极值。
如果 $D=0$ ，则判别法失效。 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可能有局部极值，也可能是鞍点。

判别式 $D$ 的另一种计算方法：

D=\begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{xy}&f_{yy}\end{vmatrix}=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2

如果 $D>0$ ，则 $f_{xx}(x_0,y_0)$ 和 $f_{yy}(x_0,y_0)$ 同号，因此 $f_{yy}(x_0,y_0)$ 的符号也可以判断极值类型。

14.8 拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法步骤：

为了在约束条件 $g(\mathbf{p})=0$ 下求 $f(\mathbf{p})$ 的极值：
1. 求解方程组

\nabla f(\mathbf{p})=\lambda\nabla g(\mathbf{p}),\quad g(\mathbf{p})=0

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 得到$\mathbf{p}$和$\lambda$。

2. 步骤1得到的每个点 $\mathbf{p}$ 都是约束极值问题的一个临界点。将这些 $\mathbf{p}$ 代入 $f$ ，得到的最大值为 $f$ 的最大值，最小值为 $f$ 的最小值。

其中 $\lambda$ 称为拉格朗日乘数。

第14章 偏导数