高数2 - 第15章 多重积分

24 年 3 月 23 日 星期六
1289 字
7 分钟

第15章 多重积分

15.1 二重积分在矩形上的定义

  • 定积分的回顾： ∫abf(x)dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(xi∗)Δx\int_a^b f(x) dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x
  • 二重积分的定义：设函数ff是定义在闭矩形RR上的二元函数，如果极限
lim⁡m,n→∞∑i=1m∑j=1nf(xij∗,yij∗)ΔA\lim_{m,n\to\infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta A

存在，则称ff在RR上可积，并把这个极限记为∬Rf(x,y)dA\iint_R f(x,y) dA，称为ff在RR上的二重积分。

  • 可积性定理：如果ff在闭矩形RR上有界，并且除去有限条光滑曲线外，ff在RR上连续，则ff在RR上可积。特别地，如果ff在RR上连续，则ff在RR上可积。
  • 二重积分的性质：
    1. ∬Rkf(x,y)dA=k∬Rf(x,y)dA\iint_R kf(x,y) dA = k \iint_R f(x,y) dA
    2. ∬R[f(x,y)±g(x,y)]dA=∬Rf(x,y)dA±∬Rg(x,y)dA\iint_R [f(x,y) \pm g(x,y)] dA = \iint_R f(x,y) dA \pm \iint_R g(x,y) dA
    3. 若f(x,y)≤g(x,y),∀(x,y)∈Rf(x,y) \leq g(x,y), \forall (x,y) \in R，则∬Rf(x,y)dA≤∬Rg(x,y)dA\iint_R f(x,y) dA \leq \iint_R g(x,y) dA
  • 累次积分：设RR为矩形[a,b]×[c,d][a,b] \times [c,d]，则可定义累次积分
∫cd[∫abf(x,y)dx]dy和∫ab[∫cdf(x,y)dy]dx\int_c^d \left[ \int_a^b f(x,y) dx \right] dy \quad \text{和} \quad \int_a^b \left[ \int_c^d f(x,y) dy \right] dx
  • Fubini定理：若R=[a,b]×[c,d]R = [a,b] \times [c,d]，则
∬Rf(x,y)dA=∫cd[∫abf(x,y)dx]dy=∫ab[∫cdf(x,y)dy]dx\iint_R f(x,y)dA = \int_c^d \left[ \int_a^b f(x,y) dx \right] dy = \int_a^b \left[ \int_c^d f(x,y) dy \right] dx

15.2 二重积分在一般区域上的定义

  • 定义：设
F(x,y)={f(x,y),(x,y)∈D0,(x,y)∈R∖DF(x,y) = \begin{cases} f(x,y), & (x,y) \in D \\ 0, & (x,y) \in R \setminus D \end{cases}

如果FF在RR上可积，则定义ff在DD上的二重积分为

∬Df(x,y)dA=∬RF(x,y)dA\iint_D f(x,y) dA = \iint_R F(x,y) dA
  • 第I型区域：若D={(x,y):g1(x)≤y≤g2(x),a≤x≤b}D = \{(x,y) : g_1(x) \leq y \leq g_2(x), a \leq x \leq b\}，则
∬Df(x,y)dA=∫ab[∫g1(x)g2(x)f(x,y)dy]dx\iint_D f(x,y) dA = \int_a^b \left[ \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) dy \right] dx
  • 第II型区域：若D={(x,y):h1(y)≤x≤h2(y),c≤y≤d}D = \{(x,y) : h_1(y) \leq x \leq h_2(y), c \leq y \leq d\}，则
∬Df(x,y)dA=∫cd[∫h1(y)h2(y)f(x,y)dx]dy\iint_D f(x,y) dA = \int_c^d \left[ \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) dx \right] dy
  • 二重积分的性质：
    1. 若D1D_1和D2D_2没有重叠（除边界外），则
∬D1∪D2f(x,y)dA=∬D1f(x,y)dA+∬D2f(x,y)dA\iint_{D_1 \cup D_2} f(x,y) dA = \iint_{D_1} f(x,y) dA + \iint_{D_2} f(x,y) dA
  1. ∬D1dA=A(D)\iint_D 1 dA = A(D)，其中A(D)A(D)为DD的面积。
  2. 若m≤f(x,y)≤M,∀(x,y)∈Dm \leq f(x,y) \leq M, \forall (x,y) \in D，则
mA(D)≤∬Df(x,y)dA≤MA(D)mA(D) \leq \iint_D f(x,y) dA \leq MA(D)

15.3 极坐标下的二重积分

  • 极坐标矩形：极坐标矩形RR的形式为
R={(x,y):x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,a≤r≤b,α≤θ≤β}R = \{(x,y): x = r \cos \theta, y = r \sin \theta, a \leq r \leq b, \alpha \leq \theta \leq \beta\}

其中a≥0a \geq 0且β−α≤2π\beta - \alpha \leq 2\pi。

  • 极坐标矩形RR的面积为
A(R)=12b2(β−α)−12a2(β−α)=rˉΔrΔθA(R) = \frac{1}{2} b^2 (\beta - \alpha) - \frac{1}{2} a^2 (\beta - \alpha) = \bar{r} \Delta r \Delta \theta

其中rˉ=a+b2\bar{r} = \frac{a+b}{2}为平均半径，Δr=b−a\Delta r = b-a，Δθ=β−α\Delta \theta = \beta - \alpha。

  • 极坐标矩形上的二重积分：
∬Rf(x,y)dA=∫αβ∫abf(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdrdθ\iint_R f(x,y) dA = \int_{\alpha}^{\beta} \int_a^b f(r \cos \theta, r \sin \theta) r dr d\theta
  • 一般区域上的极坐标二重积分：设D={(x,y):x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,α≤θ≤β,h1(θ)≤r≤h2(θ)}D = \{(x,y) : x = r \cos \theta, y = r \sin \theta, \alpha \leq \theta \leq \beta, h_1(\theta) \leq r \leq h_2(\theta)\}，则
∬Df(x,y)dA=∫αβ∫h1(θ)h2(θ)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdrdθ\iint_D f(x,y) dA = \int_{\alpha}^{\beta} \int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r dr d\theta

15.6 三重积分

  • 三重积分的定义：设函数ff定义在长方体区域B=[a,b]×[c,d]×[r,s]B = [a,b] \times [c,d] \times [r,s]上，三重积分定义为
∭Bf(x,y,z)dV=lim⁡l,m,n→∞∑i=1l∑j=1m∑k=1nf(xijk∗,yijk∗,zijk∗)ΔV\iiint_B f(x,y,z) dV = \lim_{l,m,n\to\infty} \sum_{i=1}^l \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^n f(x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*) \Delta V

其中极限存在。

  • Fubini定理：
∭Bf(x,y,z)dV=∫ab[∫cd(∫rsf(x,y,z)dz)dy]dx\iiint_B f(x,y,z) dV = \int_a^b \left[ \int_c^d \left( \int_r^s f(x,y,z) dz \right) dy \right] dx =∫ab[∫rs(∫cdf(x,y,z)dy)dz]dx=⋯= \int_a^b \left[ \int_r^s \left( \int_c^d f(x,y,z) dy \right) dz \right] dx = \cdots
  • 第I型立体区域：若E={(x,y,z)∣(x,y)∈D,u1(x,y)≤z≤u2(x,y)}E = \{(x,y,z) | (x,y) \in D, u_1(x,y) \leq z \leq u_2(x,y)\}，则
∭Ef(x,y,z)dV=∬D[∫u1(x,y)u2(x,y)f(x,y,z)dz]dA\iiint_E f(x,y,z) dV = \iint_D \left[ \int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z) dz \right] dA
  • 第II型立体区域：若E={(x,y,z)∣(y,z)∈D,u1(y,z)≤x≤u2(y,z)}E = \{(x,y,z) | (y,z) \in D, u_1(y,z) \leq x \leq u_2(y,z)\}，则
∭Ef(x,y,z)dV=∬D[∫u1(y,z)u2(y,z)f(x,y,z)dx]dA\iiint_E f(x,y,z) dV = \iint_D \left[ \int_{u_1(y,z)}^{u_2(y,z)} f(x,y,z) dx \right] dA
  • 第III型立体区域：若E={(x,y,z)∣(x,z)∈D,u1(x,z)≤y≤u2(x,z)}E = \{(x,y,z) | (x,z) \in D, u_1(x,z) \leq y \leq u_2(x,z)\}，则
∭Ef(x,y,z)dV=∬D[∫u1(x,z)u2(x,z)f(x,y,z)dy]dA\iiint_E f(x,y,z) dV = \iint_D \left[ \int_{u_1(x,z)}^{u_2(x,z)} f(x,y,z) dy \right] dA

15.7 柱坐标系下的三重积分

  • 柱坐标与直角坐标的关系：
x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,z=zx = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad z = z r2=x2+y2,tan⁡θ=yx,z=zr^2 = x^2 + y^2, \quad \tan \theta = \frac{y}{x}, \quad z = z
  • 柱坐标系下的三重积分：若区域EE由不等式α≤θ≤β\alpha \leq \theta \leq \beta，h1(θ)≤r≤h2(θ)h_1(\theta) \leq r \leq h_2(\theta)和u1(x,y)≤z≤u2(x,y)u_1(x,y) \leq z \leq u_2(x,y)给出，则
∭Ef(x,y,z)dV=∫αβ∫h1(θ)h2(θ)∫u1(rcos⁡θ,rsin⁡θ)u2(rcos⁡θ,rsin⁡θ)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z)rdzdrdθ\iiint_E f(x,y,z) dV = \int_{\alpha}^{\beta} \int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)} \int_{u_1(r \cos \theta, r \sin \theta)}^{u_2(r \cos \theta, r \sin \theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r dz dr d\theta

15.8 球坐标系下的三重积分

  • 球坐标与直角坐标的关系：
x=ρsin⁡ϕcos⁡θ,y=ρsin⁡ϕsin⁡θ,z=ρcos⁡ϕx = \rho \sin \phi \cos \theta, \quad y = \rho \sin \phi \sin \theta, \quad z = \rho \cos \phi ρ2=x2+y2+z2\rho^2 = x^2 + y^2 + z^2
  • 球坐标系下的三重积分：
∭Ef(x,y,z)dV=∫∫∫appropriate limitsf(ρsin⁡ϕcos⁡θ,ρsin⁡ϕsin⁡θ,ρcos⁡ϕ)ρ2sin⁡ϕdρdθdϕ\iiint_E f(x,y,z) dV = \int \int \int_{\text{appropriate limits}} f(\rho \sin \phi \cos \theta, \rho \sin \phi \sin \theta, \rho \cos \phi) \rho^2 \sin \phi d\rho d\theta d\phi

15.9 多重积分中的变量替换

  • 二重积分中的变量替换：设TT是从uvuv平面到xyxy平面的一一变换，它将uvuv平面上的有界区域SS映射到xyxy平面上的有界区域RR。如果TT的形式为T(u,v)=(x(u,v),y(u,v))T(u,v) = (x(u,v), y(u,v))，则有
∬Rf(x,y)dxdy=∬Sf(x(u,v),y(u,v))∣J(u,v)∣dudv\iint_R f(x,y) dx dy = \iint_S f(x(u,v), y(u,v)) |J(u,v)| du dv

其中J(u,v)J(u,v)称为Jacobian行列式，定义为

J(u,v)=∣∂x∂u∂y∂u∂x∂v∂y∂v∣=∂x∂u∂y∂v−∂x∂v∂y∂uJ(u,v) = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}
  • 三重积分中的变量替换：设TT是从uvwuvw空间到xyzxyz空间的一一变换，它将uvwuvw空间中的有界区域SS映射到xyzxyz空间中的有界区域RR。如果TT的形式为T(u,v,w)=(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))T(u,v,w) = (x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w))，则有
∭Rf(x,y,z)dxdydz=∭Sf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))∣J(u,v,w)∣dudvdw\iiint_R f(x,y,z) dx dy dz = \iiint_S f(x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)) |J(u,v,w)| du dv dw

其中J(u,v,w)J(u,v,w)称为Jacobian行列式，定义为

J(u,v,w)=∂(x,y,z)∂(u,v,w)=∣∂x∂u∂y∂u∂z∂u∂x∂v∂y∂v∂z∂v∂x∂w∂y∂w∂z∂w∣J(u,v,w) = \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial v} \\ \frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial y}{\partial w} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}

文章标题：高数2 - 第15章 多重积分

文章作者：DWHITE

文章链接：https://dr9k69ai79.github.io/MyBlog/posts/schoolcoursesnotes/2024_02/高数2/15-多重积分[复制]

最后修改时间：

商业转载请联系站长获得授权，非商业转载请注明本文出处及文章链接，您可以自由地在任何媒体以任何形式复制和分发作品，也可以修改和创作，但是分发衍生作品时必须采用相同的许可协议。
本文采用CC BY-NC-SA 4.0进行许可。