第16章向量微积分

16.1 向量场

定义

向量场：设D是 $\mathbb{R}^2$ 中的一个点集（平面区域）。 $\mathbb{R}^2$ 上的向量场是一个函数F，它将D中的每个点 $(x,y)$ 映射为一个二维向量 $\mathbf{F}(x,y)$ 。类似地，设E是 $\mathbb{R}^3$ 的子集。 $\mathbb{R}^3$ 上的向量场是一个函数F，它将E中的每个点 $(x,y,z)$ 映射为一个三维向量 $\mathbf{F}(x,y,z)$ 。
梯度：设标量场f可微，则f的梯度，记为 $\nabla f$ ，是由下式给出的向量场：

\nabla f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}

\nabla f(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}

保守向量场：如果向量场F是某个标量函数f的梯度，则称F为保守向量场。f称为向量场F的势函数。

16.2 线积分

定义

线积分：设C是由下列参数方程给出的光滑平面曲线：

x=x(t),\ y=y(t),\ a\leq t\leq b

其中 $x'$ 和 $y'$ 在区间 $(a,b)$ 上连续但不同时为零。函数f在C上的线积分定义为：

\int_C f(x,y)ds=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i^*,y_i^*)\Delta s_i

如果该极限存在。其中 $\Delta s_i$ 表示子弧 $P_{i-1}P_i$ 的长度， $(x_i^*,y_i^*)$ 是子区间 $[t_{i-1},t_i]$ 上的任意点。

定理

设C由参数方程 $x=x(t),\ y=y(t),\ a\leq t\leq b$ 给出，则

\int_C f(x,y)ds=\int_a^b f(x(t),y(t))\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt

设C由参数方程 $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)),\ a\leq t\leq b$ 给出，则

\int_C f(x,y,z)ds=\int_a^b f(\mathbf{r}(t))\|\mathbf{r}'(t)\|dt

对x和y的线积分：

\int_C f(x,y)dx=\int_a^b f(x(t),y(t))x'(t)dt

\int_C f(x,y)dy=\int_a^b f(x(t),y(t))y'(t)dt

定理

设C是从A到B的任意一条分段光滑曲线，则

\int_{-C}f(x,y)dx=-\int_C f(x,y)dx

\int_{-C}f(x,y)dy=-\int_C f(x,y)dy

其中-C表示与C由相同的点构成但取向相反的曲线。

向量场的线积分（做功）：设F是 $\mathbb{R}^3$ 上的连续力场。对于光滑曲线C： $\mathbf{r}(t), a\leq t\leq b$ ，有

W=\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)dt=\int_C \mathbf{F}\cdot \mathbf{T}ds=\int_C F_1dx+F_2dy+F_3dz

其中 $\mathbf{T}(x,y,z)$ 是C在点 $(x,y,z)$ 处的单位切向量。

16.3 线积分基本定理

定理

线积分基本定理：设C是由 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t), a\leq t\leq b$ 给出的分段光滑曲线。如果f在包含C的一个开集上连续可微，则

\int_C \nabla f(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}=f(\mathbf{r}(b))-f(\mathbf{r}(a))

定义

若对于D中的任意两点A和B，对D中从A到B的每一条路径C，线积分 $\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}$ 的值总是相同的，则称该线积分在连通集D中与路径无关。

定理

设 $\mathbf{F}(\mathbf{r})$ 在 $\mathbb{R}^n\ (n\geq 2)$ 的子集D上连续，则线积分 $\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}$ 在D中与路径无关的充分必要条件是对D中的每一条闭路径C，都有 $\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}=0$ 。
与路径无关定理：设 $\mathbf{F}(\mathbf{r})$ 在 $\mathbb{R}^n\ (n\geq 2)$ 的开连通子集D上连续。则线积分 $\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}$ 在D中与路径无关的充分必要条件是存在标量函数f使得 $\mathbf{F}(\mathbf{r})=\nabla f(\mathbf{r})$ ，即F在D上是保守向量场。

定理

设 $\mathbf{F}=F_1(x,y)\mathbf{i}+F_2(x,y)\mathbf{j}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中一个开单连通区域D上的向量场。如果 $F_1$ 和 $F_2$ 有连续的一阶偏导数，则F为保守向量场的充分必要条件是

\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial F_2}{\partial x}

设 $\mathbf{F}=F_1\mathbf{i}+F_2\mathbf{j}+F_3\mathbf{k}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中一个开单连通区域D上的向量场。如果 $F_1,F_2,F_3$ 有连续的一阶偏导数，则F为保守向量场的充分必要条件是

\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial F_2}{\partial x},\quad \frac{\partial F_1}{\partial z}=\frac{\partial F_3}{\partial x},\quad \frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{\partial F_3}{\partial y}

16.4 格林定理

定理

格林定理：设C是xy平面上的一条分段光滑、简单闭合曲线，其正向边界为区域D。如果 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在包含D的一个开区域上有连续偏导数，则

\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA=\int_C Pdx+Qdy

16.5 旋度与散度

定义

旋度：设 $\mathbf{F}=F_1\mathbf{i}+F_2\mathbf{j}+F_3\mathbf{k}$ 是存在一阶偏导数的向量场，则F的旋度定义为

\mathrm{curl}\ \mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix}

=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\mathbf{k}

散度：设 $\mathbf{F}=F_1\mathbf{i}+F_2\mathbf{j}+F_3\mathbf{k}$ 是存在一阶偏导数的向量场，则F的散度定义为

定理

$\mathrm{curl}(\nabla f)=0$
如果F是保守向量场，则 $\mathrm{curl}\ \mathbf{F}=0$ 。
如果 $\mathbf{F}$ 是定义在整个 $\mathbb{R}^3$ 上且分量函数有连续偏导数的向量场，并且 $\mathrm{curl}\ \mathbf{F}=0$ ，则F是保守向量场。

16.6 参数曲面及其面积

定义

参数曲面：由下式给出的点的集合称为参数曲面：

\mathbf{r}(u,v)=x(u,v)\mathbf{i}+y(u,v)\mathbf{j}+z(u,v)\mathbf{k},\quad (u,v)\in D

切平面：设参数曲面S由向量函数 $\mathbf{r}(u,v)$ 在点 $P_0$ （对应位置向量 $\mathbf{r}(u_0,v_0)$ ）处描绘。若 $\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\neq 0$ ，则称曲面S是光滑的。对于光滑曲面，切平面是同时包含切向量 $\mathbf{r}_u$ 和 $\mathbf{r}_v$ 的平面，而 $\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v$ 是该切平面的一个法向量。
曲面面积：参数曲面 $\mathbf{r}(u,v)$ （其中 $(u,v)\in D$ ）的面积为

A(S)=\iint_D \|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\|dA

对于特殊情形 $z=f(x,y)$ （其中 $(x,y)\in D$ ，且f有连续偏导数），有

A(S)=\iint_D \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}dA

16.7 曲面积分

定义

曲面积分：设曲面S由 $\mathbf{r}(u,v)$ 参数化，其中 $(u,v)\in D=[a,b]\times[c,d]$ 。函数f在S上的曲面积分定义为

\iint_S f(x,y,z)dS=\lim_{m,n\to\infty}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n f(\mathbf{r}(u_{ij}^*,v_{ij}^*))\Delta S_{ij}

其中 $\Delta S_{ij}$ 是 $S_{ij}$ 的面积。

定理

对于由 $\mathbf{r}(u,v)$ （其中 $(u,v)\in D$ ）给出的参数曲面S，有

\iint_S f(x,y,z)dS=\iint_D f(\mathbf{r}(u,v))\|\mathbf{r}_u(u,v)\times\mathbf{r}_v(u,v)\|dA

特别地，如果S是函数 $z=f(x,y)$ （其中 $(x,y)\in D$ ）的图像，则

\iint_S f(x,y,z)dS=\iint_D f(x,y,f(x,y))\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}dA

向量场的曲面积分：设 $\mathbf{F}=F_1\mathbf{i}+F_2\mathbf{j}+F_3\mathbf{k}$ 是定义在有向曲面S（由 $\mathbf{r}(u,v)$ 给出，其中 $(u,v)\in D$ ）上的连续向量场，单位法向量为 $\mathbf{n}$ ，则F在S上的曲面积分为

\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}dS

该积分也称为F穿过S的通量。

定理

\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_D \mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v)dA

如果 $z=f(x,y)$ ，则

\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_D \mathbf{F}\cdot\left\langle-\frac{\partial z}{\partial x},-\frac{\partial z}{\partial y},1\right\rangle dA

16.8 斯托克斯定理

定理

斯托克斯定理：设S是一个有向的分片光滑曲面，其边界C是一条简单闭合的分段光滑曲线，方向与S上的单位法向量 $\mathbf{n}$ 相吻合。设 $\mathbf{F}$ 是一个在包含S的 $\mathbb{R}^3$ 的开子集上分量有连续偏导数的向量场，则

\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_S \mathrm{curl}\ \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}

有向曲面S的正向边界曲线常写作 $\partial S$ ，于是有

\int_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_S \mathrm{curl}\ \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}

定理

设D是单连通的。证明如果在D上 $\mathrm{curl}\ \mathbf{F}=0$ ，则F在D上是保守的。

16.9 散度定理

定理

散度定理（高斯定理）：设E是一个简单实体区域，S是E的取正向（外法向）的边界曲面。设 $\mathbf{F}=F_1\mathbf{i}+F_2\mathbf{j}+F_3\mathbf{k}$ 是一个向量场，其中 $F_1,F_2,F_3$ 在包含E的一个开区域上有连续的偏导数，则

\iint_{\partial E}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_E \mathrm{div}\ \mathbf{F}dV

16.10 总结

线积分基本定理：设 C 是由 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t), a\leq t\leq b$ 给出的分段光滑曲线。如果 f 在包含 C 的一个开集上连续可微，则

\int_C \nabla f(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}=f(\mathbf{r}(b))-f(\mathbf{r}(a))

格林定理：设 C 是 xy 平面上的一条分段光滑、简单闭合曲线，其正向边界为区域 D。如果 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在包含 D 的一个开区域上有连续偏导数，则

\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA=\oint_C Pdx+Qdy

斯托克斯定理：设 S 是一个有向的分片光滑曲面，其边界 C 是一条简单闭合的分段光滑曲线，方向与 S 上的单位法向量 $\mathbf{n}$ 相吻合。设 $\mathbf{F}$ 是一个在包含 S 的 $\mathbb{R}^3$ 的开子集上分量有连续偏导数的向量场，则

\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_S \mathrm{curl}\ \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}

散度定理（高斯定理）：设 E 是一个简单实体区域，S 是 E 的取正向（外法向）的边界曲面。设 $\mathbf{F}=F_1\mathbf{i}+F_2\mathbf{j}+F_3\mathbf{k}$ 是一个向量场，其中 $F_1,F_2,F_3$ 在包含 E 的一个开区域上有连续的偏导数，则

\unicode{8751}_{\partial E}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_E \mathrm{div}\ \mathbf{F}dV

附：

1 向量场和向量微积分

英文	中文
`Vector Field`	`向量场`
`Conservative Vector Field`	`保守向量场`
`Gradient`	`梯度`
`Curl`	`旋度`
`Divergence`	`散度`
`Line Integral`	`线积分`
`Surface Integral`	`曲面积分`

2 定理和定律

英文	中文
`Fundamental Theorem for Line Integrals`	`线积分基本定理`
`Green's Theorem`	`格林定理`
`Stokes' Theorem`	`斯托克斯定理`
`The Divergence Theorem (Gauss's Theorem)`	`散度定理（高斯定理）`
`Newton's Law of Gravitation`	`牛顿万有引力定律`
`Newton's Second Law of Motion`	`牛顿第二运动定律`
`Law of Conservation of Energy`	`能量守恒定律`

3 曲面和曲线

英文	中文
`Parametric Surface`	`参数曲面`
`Tangent Plane`	`切平面`
`Normal Vector`	`法向量`
`Piecewise-smooth Surface`	`分片光滑曲面`
`Piecewise-smooth Curve`	`分片光滑曲线`
`Simple Closed Curve`	`简单闭合曲线`
`Oriented Surface`	`有向曲面`

4 其他

英文	中文
`Scalar Field`	`标量场`
`Potential Function`	`势函数`
`Simply Connected`	`单连通`
`Connected Set`	`连通集`
`Simple Solid Region`	`简单实体区域`
`Flux`	`通量`
`Kinetic Energy`	`动能`
`Potential Energy`	`势能`

第16章 向量微积分