线性代数复习

向量

• 向量是具有大小和方向的量。
• 例如，从固定点A到固定点B的位移是一个向量，因为它的大小是A和B之间的距离，方向是从A到B需要沿直线移动的方向。
• 其他向量的例子有速度和力。例如，物体的重力是一个向量，因为它的大小是物体的重量，方向是向下的。
• 与具有方向的向量相比，普通的没有方向的量称为标量。

相等向量

• 当两个向量具有相同的大小和方向时，它们是相等的。

负向量

• 向量$2a$与向量$a$具有相同的大小，但方向相反。

向量的加法和减法

• 将两个向量$a$和$b$首尾相连形成一个三角形，即可完成向量的加法。

• 向量的减法通过加上负向量来实现：$a - b = a + (-b)$。

将向量分解为两个垂直分量

• 正如两个向量可以相加形成一个合成向量，我们可以将任何向量分解为两个垂直的向量，当它们相加时，就形成了原始向量。
• 考虑直角三角形OAB，我们可以看到$OB = a \cos(\theta)$，$BA = OC = a \sin(\theta)$。因此，如果我们知道向量$a$的方向$\theta$，我们可以将其分解为分量$a \cos(\theta)$和$a \sin(\theta)$，使得：

单位向量

矩阵

• 数字的矩形阵列称为矩阵。
• 矩阵的水平数组称为行，垂直数组称为列。
• 具有$m$行和$n$列的矩阵被称为$m \times n$阶矩阵。
• 一个$m \times n$阶矩阵$A$可以表示为：

矩阵相等的定义

两个具有相同阶数$m \times n$的矩阵$A = [a_{ij}]$和$B = [b_{ij}]$相等，当且仅当对于每个$i = 1, 2, \ldots, m$和$j = 1, 2, \ldots, n$，有$a_{ij} = b_{ij}$。

特殊矩阵

• 零矩阵：每个元素都为零的矩阵称为零矩阵，用$0$表示。例如：

• 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。因此，它的阶数为$m \times m$（对于某个$m$），并用$m$表示。
• 对角线元素：在$n$阶方阵$A = [a_{ij}]$中，元素$a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}$称为对角线元素，形成$A$的主对角线。
• 单位矩阵：对角线元素为1，其余元素为0的方阵。
• 三角矩阵：主对角线以上或以下元素为零的矩阵。

矩阵的转置

• $m \times n$矩阵$A = [a_{ij}]$的转置定义为$n \times m$矩阵$B = [b_{ij}]$，其中$b_{ij} = a_{ji}$，对于$1 \leq i \leq m$和$1 \leq j \leq n$。$A$的转置表示为$A^t$。
• 也就是说，通过$m \times n$矩阵$A$的转置，我们得到一个$n \times m$阶矩阵，以$A$的行为列，以$A$的列为行。

标量乘以矩阵

标量$k$与矩阵$A = [a_{ij}]$的乘积定义为$kA = [ka_{ij}]$，即矩阵的每个元素都乘以该标量。

矩阵乘法

假设$A$是一个$m \times n$矩阵，$B$是一个$n \times p$矩阵，那么$A$和$B$的乘积$AB$是一个$m \times p$矩阵$C = [c_{ij}]$，其中：

对于$i = 1, 2, \ldots, m$和$j = 1, 2, \ldots, p$。

换句话说，结果矩阵$C$的第$i$行第$j$列的元素$c_{ij}$是矩阵$A$的第$i$行与矩阵$B$的第$j$列的对应元素乘积之和。

矩阵乘法具有以下性质：

1. 矩阵乘法不总是可交换的，即$AB \neq BA$。
2. 矩阵乘法满足结合律，即$(AB)C = A(BC)$。
3. 对于单位矩阵$I$，有$AI = IA = A$。

总结

本章回顾了线性代数中的基本概念，包括：

• 向量及其性质：相等向量、负向量、向量加减法以及向量分解
• 矩阵及其表示方法：特殊矩阵（零矩阵、方阵、单位矩阵和三角矩阵）
• 矩阵运算：矩阵的转置、标量乘法和矩阵乘法及其性质

这些概念在计算机图形学中有广泛应用，为后续章节的学习打下了基础。