三维视图和图形渲染管线回顾

视图(Viewing)

• 视图包括从世界坐标(World Coordinates)到屏幕坐标(Screen Coordinates)的转换
• 裁剪(Clipping): 移除屏幕外的部分
  • 二维裁剪
  • 三维裁剪

二维视图管线(2D Viewing Pipeline)

1. 裁剪窗口(Clipping Window):我们想看到的区域
   • 在世界坐标中定义一个矩形区域，由$(x^w_{min}, x^w_{max}, y^w_{min}, y^w_{max})$确定
2. 视口(Viewport):我们想在屏幕上显示的区域
   • 在屏幕坐标中定义一个矩形区域，由$(x^v_{min}, x^v_{max}, y^v_{min}, y^v_{max})$确定
3. 视图变换包括:
   • 平移(Panning): 改变裁剪窗口的位置
   • 缩放(Zooming): 改变裁剪窗口的大小
4. 二维视图管线的步骤:
   • 应用模型变换(Apply model transformations)
   • 确定可见部分(Determine visible parts)
   • 转换到标准坐标(To standard coordinates)
   • 裁剪并确定像素(Clip and determine pixels)

裁剪窗口到规范化坐标的变换

1. 平移变换 $T(-x^w_{min}, -y^w_{min})$
2. 缩放变换

3. 如果两个缩放因子不相等，则会改变宽高比(aspect ratio)导致失真(distortion)
4. 平移变换 $T(x^v_{min}, y^v_{min})$
5. 综合变换:

OpenGL中的二维视图

1. 首先选择投影矩阵(Projection Matrix):

glMatrixMode(GL_PROJECTION);

2. 指定二维裁剪窗口:

gluOrtho2D(xwmin, xwmax, ywmin, ywmax);  

3. 指定视口:

glViewport(xvmin, yvmin, vpWidth, vpHeight);

4. 为防止失真,需确保:

二维裁剪(2D Clipping)

• 裁剪就是移除裁剪窗口外部的部分
• 有许多裁剪算法:点裁剪、线裁剪、区域填充、曲线裁剪等
• 点裁剪:如果点$P=(x,y)$在矩形内部则保留,即

• 线裁剪:
  • 基本算法:计算线段PQ与裁剪窗口边的交点,得到参数u的区间$(u_0, u_1)$,其中

• Cohen-Sutherland算法:
  • 为每个端点赋予一个4位的区域码(region code)
  • 区域码1表示在外部,0表示在内部
  • 如果两个端点的区域码按位或为0,则线段完全在内部
  • 如果两个端点的区域码按位与不为0,则线段完全在外部
  • 否则,用区域码快速计算交点

三维视图(3D Viewing)

• 视图:虚拟相机(virtual camera)
• 投影(Projection)
• 深度(Depth)
• 可见线和表面(Visible lines and surfaces)
• 表面渲染(Surface rendering)

三维视图管线(3D Viewing Pipeline)

1. 与拍照类似:放置和指向虚拟相机,然后"按下快门"
2. 投影平面又称视图平面(Viewing plane)
3. 管线结构与二维情形类似
4. 管线的步骤:
   • 应用模型变换(Apply model transformations)
   • 转换到相机坐标(To camera coordinates)
   • 投影(Project)
   • 转换到标准坐标(To standard coordinates)
   • 裁剪并转换为像素(Clip and convert to pixels)

三维视图坐标(3D Viewing Coordinates)

1. 定义投影需要指定:
   • $P_0$: 视点(View point)或眼睛(Eye point)
   • $P_{ref}$: 参考点(Reference point)或视线目标(Look-at point)
   • $\vec{V}$: 视图向上向量(View-up vector),指定垂直方向
   • $z_{vp}$: 视平面的位置
2. $P_0$, $P_{ref}$, $\vec{V}$定义了视图坐标系,有多种选择方式
3. 视图坐标轴的推导:
   • $\vec{n} = \frac{\overrightarrow{P_0 P_{ref}}}{|\overrightarrow{P_0 P_{ref}}|} = (n_x, n_y, n_z)$
   • $\vec{u} = \frac{\vec{V} \times \vec{n}}{|\vec{V} \times \vec{n}|} = (u_x, u_y, u_z)$, 与$\vec{n}$垂直
   • $\vec{v} = \vec{n} \times \vec{u} = (v_x, v_y, v_z)$, 与$\vec{u}$垂直
4. 从世界坐标到视图坐标的变换矩阵:

其中

投影变换(Projection Transformations)

• 平行投影(Parallel Projection):投影线互相平行
• 透视投影(Perspective Projection):投影线汇聚于一点

正交投影(Orthogonal Projections)

1. 平行投影 + 投影线垂直于投影平面 = 正交投影
2. 如果投影线与坐标轴夹角相等,则称为等轴测投影(Isometric Projection)
3. 正交投影的变换非常简单:

其中$z_p$是常数,表示投影平面的z坐标 4. 正交投影的观察体(View Volume)是一个长方体,由远近裁剪平面(Near/Far Clipping Plane)和裁剪窗口(Clipping Window)决定 5. 将观察体变换为规范化观察体 $[-1,1]^3$:

• 先平移使其中心在原点
• 再缩放使其cada边长为2
• 最后从右手系变换为左手系

透视投影(Perspective Projection)

1. 透视投影的特点:
   • 投影线汇聚于一点(投影参考点 Projection Reference Point)
   • 视平面垂直于z轴
2. 问题:点P=(x,y,z)在视平面z=z_vp上的投影点坐标是多少?
3. 推导:
   • 假设投影参考点在原点R=(0,0,0)
   • 连接P和R的直线为 $X(u) = R + u(P-R) = uP, u>0$
   • 与视平面z=z_vp的交点满足 $z=uz_p=z_{vp}$, 即$u=\frac{z_{vp}}{z}$
   • 将u代入得到 $x_p=\frac{z_{vp}}{z}x, y_p=\frac{z_{vp}}{z}y$
4. 几何意义:
   • 在侧视图中,可以看到 $\frac{y_p}{y}=\frac{z_{vp}}{z}$
   • 裁剪窗口宽度W与z_vp的比值决定了透视效果的强弱
   • 该比值等于视角$\theta$的2倍正切,即$\frac{W}{z_{vp}}=2\tan\frac{\theta}{2}$
5. 用相机的比喻,可以用焦距f来控制透视效果:
   • 20mm广角、50mm标准、100mm长焦
   • 应用程序调整W和z_vp,使得 $\frac{W}{z_{vp}}=\frac{24}{f}$ (水平方向),$\frac{W}{z_{vp}}=\frac{36}{f}$ (垂直方向)

透视投影的视体(View Volume)

• 透视投影的视体是一个视锥体(viewing frustum),由远近裁剪平面和视平面上的裁剪窗口决定
• 将视锥体变换为规范化视体$[-1,1]^3$的过程类似于正交情形

齐次坐标下的透视投影变换

• 引入齐次坐标:
  • 点用四维向量P=(x,y,z,w)表示
  • 笛卡尔坐标下为(x/w, y/w, z/w)
  • 一般情况下w=1,但透视投影中w=-z
• 透视投影变换可以写作矩阵形式:

• 简化情形(正方形裁剪窗口,边长为2r,裁剪平面与视平面重合即zn=zvp):

OpenGL中的3D视图

1. 放置相机:

gluLookAt(x0,y0,z0, xref,yref,zref, Vx,Vy,Vz);

其中:

• (x0,y0,z0)是视点$P_0$的坐标
• (xref,yref,zref)是参考点$P_{ref}$的坐标
• (Vx,Vy,Vz)是视图向上向量$\vec{V}$
• 默认值为 $P_0=(0,0,0), P_{ref}=(0,0,-1), \vec{V}=(0,1,0)$

2. 正交投影:

glOrtho(xwmin, xwmax, ywmin, ywmax, dnear, dfar);  

其中:

• (xwmin,xwmax,ywmin,ywmax)指定了裁剪窗口
• dnear和dfar指定了到近、远裁剪平面的距离
• 须确保 dnear<dfar,且模型在两个裁剪平面之间

3. 透视投影:

glFrustum(xwmin, xwmax, ywmin, ywmax, dnear, dfar);

参数含义与正交投影类似,但

• 标准情况下 $xw_{min}=-xw_{max}$, $yw_{min}=-yw_{max}$
• 须确保 $0 < d_{near} < d_{far}$

4. 设置视口:

glViewport(xvmin, yvmin, vpWidth, vpHeight);

其中$(x_{min},yv_{min})$v是视口左下角在像素坐标下的坐标,$vp_{Width}$和$vp_{Height}$是视口的宽度和高度

OpenGL中的2D视图

OpenGL提供了完整的二维视图功能，包括裁剪窗口设置、视口变换和坐标映射等功能。

图形渲染管线(Graphics Rendering Pipeline)

• 输入:三维三角形汤(soup of 3D triangles)
• 输出:从特定视角看到的二维图像
• 流水线式处理:
  • 包含不同的阶段
  • 每个三角形依次通过各个阶段

图形渲染管线的主要阶段

1. 顶点处理阶段(Vertex Processing Stage):
   • 顶点着色器(Vertex Shader):以相同的方式独立处理每个顶点
     • 对每个顶点做变换(transformations)
     • 对每个顶点计算光照(lighting)
   • 几何着色器(Geometry Shader):生成、修改图元(primitives)
2. 图元装配和光栅化阶段(Primitive Assembly and Rasterization Stage):
   • 装配点、线、三角形等图元
   • 将图元转换为栅格图像
   • 生成片段(fragments),即像素的候选
   • 片段的属性由图元的顶点插值得到
3. 片段处理阶段(Fragment Processing Stage):
   • 片段着色器(Fragment Shader):以相同的方式独立处理每个片段
   • 片段经处理后,可能被丢弃(discarded)或存储到帧缓冲(framebuffer)中

其他图形渲染管线的功能

• 解决可见性(visibility)问题
• 应用光照模型(lighting model)
• 计算阴影(shadows)(非核心功能)
• 应用纹理(textures)

重要的管线阶段

1. 模型-视图变换(Model-View Transformation)
2. 投影变换(Projection Transformation)
3. 裁剪和顶点属性插值(Clipping and Vertex Interpolation of Attributes)
4. 光栅化和像素属性插值(Rasterization and Pixel Interpolation of Attributes)
5. 图形硬件(Graphics Hardware)

模型变换(Model Transformation)

• 世界坐标系(World Coordinates)
• 物体坐标系(Object Coordinates)
• 模型变换:将物体从物体坐标系变换到世界坐标系
  • 设置物体的位置、缩放和方向
  • 图形硬件/库只支持线性变换,如平移(translation)、旋转(rotation)、缩放(scaling)和错切(shear)

视图变换(View Transformation)

输入:

• 视点(eye)的位置和方向
• 视点(view point)
• 图像平面的法向量$\vec{N}$
• 向上向量(view up)$\vec{U}$

目标:

• 将视点移到原点
• 将图像平面的法向量与-Z轴对齐
• 将向上向量与+Y轴对齐
• 通过旋转和平移实现上述变换

投影变换(Projection Transformation)

• 定义视锥体(view frustum)(6个参数)
• 假设原点是视点
• 近平面和远平面(平行于XY平面,在-Z轴上)
• 近平面上的矩形,由left、right、top、bottom确定
• 将视锥体(以及内部物体)变换为一个长方体
  • 近远平面变为中心在-Z轴的正方形
• 将物体投影到近平面上

窗口坐标变换(Window Coordinate Transformation)

• 将规范化长方体的XY坐标缩放到窗口尺寸(相对像素坐标)
• 平移到窗口在屏幕上的位置,得到绝对像素坐标
• Z值用于解决遮挡关系