算法分析概述

什么是算法(algorithm)？

算法是一系列明确的指令，用于在有限的时间内解决一个问题，即对于任何合法的输入，得到所需的输出。

• 算法的输入指定了算法所解决问题的一个实例。
• 算法可以用以下方式指定：
  • 自然语言
  • 伪代码(pseudocode)
  • 混合使用自然语言和类似编程语言的结构

为什么要学习算法？

算法在许多领域都有广泛而深远的影响，例如：

• 互联网：网络搜索、数据包路由、分布式文件共享等
• 人工智能：无人驾驶、计算机视觉等
• 计算机：电路布局、文件系统、编译器等
• 计算机图形学：电影、视频游戏、虚拟现实等
• 安全：手机、电子商务、投票机等
• 多媒体：MP4、JPG、DivX、HDTV、人脸识别等
• 社交网络：推荐、新闻推送、广告等
• 物理：空气动力学模拟、粒子碰撞模拟等
• 生物：人类基因组计划、蛋白质折叠等

此外，学习算法还有以下原因：

• 智力刺激
• 成为一名熟练的程序员
• 它们可能解开生命和宇宙的奥秘
• 兴趣和利益

算法分析和设计的过程

1. 问题 -> 算法设计 -> 编程 -> 算法分析 -> 问题

示例：计算两个整数的最大公约数(greatest common divisor, gcd)

问题：找到两个非负整数 $m$ 和 $n$ 的最大公约数 $gcd(m,n)$，其中 $m$ 和 $n$ 不同时为零。

• $gcd(m,n)$：能整除 $m$ 和 $n$ 的最大整数。

示例：

• $gcd(60,24) = 12$
• $gcd(60,0) = 60$

三种不同的方法：

1. 欧几里得算法(Euclid's algorithm)
2. 连续整数检查算法(Consecutive integer checking algorithm)
3. 中学方法(Middle-school procedure)

欧几里得算法计算 $gcd(m,n)$

欧几里得算法基于重复应用等式：

直到 $m \bmod n$ 等于0。

算法步骤：

1. 如果 $n=0$，返回 $m$ 并停止；否则进入步骤2。
2. 用 $m$ 除以 $n$，将余数的值赋给 $r$。
3. 将 $n$ 的值赋给 $m$，将 $r$ 的值赋给 $n$。转到步骤1。

连续整数检查算法计算 $gcd(m,n)$

算法步骤：

1. 将 $\min\{m,n\}$ 的值赋给 $t$。
2. 用 $t$ 除 $m$。如果余数为0，进入步骤3；否则，进入步骤4。
3. 用 $t$ 除 $n$。如果余数为0，返回 $t$ 并停止；否则，进入步骤4。
4. 将 $t$ 减1，转到步骤2。

注：当其中一个输入数为0时，该算法无法正确工作。

中学方法计算 $gcd(m,n)$

算法步骤：

1. 找到 $m$ 的质因数分解。
2. 找到 $n$ 的质因数分解。
3. 找到所有共同的质因数。
4. 计算所有共同质因数的乘积，并将其作为 $gcd(m,n)$ 返回。

与算法相关的两个主要问题

1. 如何设计算法？
2. 如何分析算法的效率？

算法设计技术/策略

• 暴力法(Brute force)
• 分治法(Divide and conquer)
• 减治法(Decrease and conquer)
• 变换和征服(Transform and conquer)
• 贪心方法(Greedy approach)
• 动态规划(Dynamic programming)
• 回溯法(Backtracking)
• 分支限界法(Branch and bound)

算法分析

如何评估一个算法的好坏？

• 时间效率：时间复杂度(Time complexity)，表示算法运行的速度。
• 空间效率：空间复杂度(Space complexity)，指算法除了输入和输出所需的空间外，还需要的内存单元。

是否存在更好的算法？ 下界(Lower bounds)：

• 下界指的是解决某个问题所需的最小时间或空间复杂度。
• 它为算法的效率提供了一个理论上的限制，即任何算法都不可能比下界更快或使用更少的空间。
• 通过证明问题的下界，我们可以知道是否还有改进算法效率的空间。

最优性(Optimality)：

• 如果一个算法的时间或空间复杂度与问题的下界相匹配，那么我们称这个算法是最优的。
• 最优算法是在给定的复杂度度量下，解决问题的最佳算法。
• 一旦我们证明了一个算法是最优的，那么我们就知道不可能找到一个更好的算法了。

重要的问题类型

• 排序(Sorting)
• 搜索(Searching)
• 字符串处理(String processing)
• 图问题(Graph problems)
• 组合问题(Combinatorial problems)
• 几何问题(Geometric problems)
• 数值问题(Numerical problems)

总结

• 算法：在有限时间内解决问题的一系列非歧义指令。
• 问题类型
• 设计技术
• 一个好的算法通常是反复努力和重做的结果。
• 同一问题通常可以用几种算法来解决。

练习

用伪代码描述将正十进制整数转换为二进制表示的标准算法。