第10章 参数方程与极坐标

10.1 由参数方程定义的曲线

• 参数方程定义：平面曲线可以由一对参数方程定义：

• 起点和终点：

  • 起点：$P(x(a), y(a))$
  • 终点：$Q(x(b), y(b))$

• 圆的参数方程：圆心在$(h,k)$，半径为$r$的圆的参数方程为：

10.2 参数曲线的微积分

• 切线斜率：设$f$和$g$是可微函数，参数曲线$x=f(t),y=g(t)$上一点的切线斜率为：

• 弧长公式：参数曲线$x=f(t),y=g(t),a \leq t \leq b$的弧长为：

10.3 极坐标

• 极坐标定义：给定平面上一点$P(x,y)$，设$r=\sqrt{x^2+y^2}$为其到原点$O$的距离，$\theta$为$OP$与正$x$轴的夹角。则$(r,\theta)$称为点$P$的极坐标。

• 坐标转换：

• 极曲线：极方程$r=f(\theta)$或更一般地$F(r,\theta)=0$的图形由所有极坐标满足方程的点$P$组成。

• 切线斜率：极曲线$r=f(\theta)$的切线斜率为：

10.4 极坐标下的面积与长度

• 扇形面积：$A = \frac{1}{2}r^2\theta$

• 极坐标区域面积：如果区域$R$由曲线$r=f(\theta)$和射线$\theta=a$与$\theta=b$所围成，则其面积为：

• 极坐标弧长：极曲线$r=f(\theta),a \leq \theta \leq b$的弧长为：

10.5 圆锥曲线

• 圆锥曲线定义：圆锥曲线（Conic Sections），简称二次曲线，是平面与圆锥相交得到的曲线。

• 抛物线（Parabolas）：

  • $y = ax^2, \quad a \neq 0$
  • $x = ay^2, \quad a \neq 0$

• 椭圆（Ellipses）：

  • $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a \geq b > 0$
  • $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad b \geq a > 0$

• 双曲线（Hyperbolas）：

  • $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a \neq 0, b \neq 0$
  • $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1, \quad a \neq 0, b \neq 0$

• 平移二次曲线：通过适当的平移消去一次项，可以确定方程所表示的二次曲线类型。